Solide Cristallin
ELEMENTS DE CRISTALLOGRAPHIE
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Solide Cristallin |
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ELEMENTS DE CRISTALLOGRAPHIE
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Réseau, nœud et motif Le réseau est un ensemble infini de points ordonnés et répartis régulièrement dans l’espace. Les points du réseau sont appelés nœuds. Le nœud peut être occupé par un objet (fleur d’un papier peint, brique d’un mur, carreau d’un carrelage, …) qui est répété périodiquement qu'on appelle motif. |
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Dans le cas d’un réseau bidimensionnel, les nœuds du réseau sont déduits les uns des autres par des translations de type : |
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où |
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et |
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sont les vecteurs de base de la référence choisie, n et m sont des entiers |
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relatifs. Le choix de l’origine est arbitraire du fait qu'on a un réseau infini et périodique. |
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Maille cristalline C'est le parallélogramme construit sur quatre nœuds, c’est- à – dire sur deux vecteurs et issus d’un même nœud. Elle est définie par les longueurs des vecteurs et et l’angle g entre eux. |
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Dans le cas d’un réseau tridimensionnel, la maille est un parallélépipède construit sur huit nœuds c’est à dire sur trois vecteurs , et issus d’ un même nœud et non coplanaires. Elle est définie par les longueurs des vecteurs, et et les angles entre eux a, b et g. Le trièdre , , est direct et les angles sont choisis par convention tels que : a = (, ) , b =(, ) et g =(, ,). |
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Le choix des vecteurs peut se faire d’une infinité de façon, mais souvent on considère ceux qui engendrent la maille la plus petite qui, par des translations, décrit tout le réseau. Si le motif est une particule (atome, ion ou molécule), on obtient un réseau cristallin. Par conséquent, un solide cristallin est un solide dont la structure microscopique est caractérisée par un arrangement ordonné et périodique des particules dans l’espace. |
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Multiplicité d’une maille
C’est le nombre de motifs que contient la maille. Dans le cas d’un réseau bidimensionnel, elle est donnée par la formule : m = ns/4 + na/2 + ni.1
Dans le cas d’un réseau tridimensionnel :
m = ns/8 + na/4 + nf/2 + ni.1
Pour une maille hexagonale, on peut montrer que :
m = ns/12 + na/3 + nb/2 + ni.1
où ns, na, nf, nb et ni sont respectivement les nombres de motifs situés aux sommets, sur les arêtes, sur les faces, sur les bases et à l’intérieur de la maille. La multiplicité est aussi le déterminant construit sur les vecteurs de base de la maille.
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Rangée réticulaire Une rangée réticulaire est toute droite passant par deux nœuds. Elle est portée par le vecteur :
où les indices u, v et w sont des entiers relatifs premiers entre eux. Elle est notée [u, v, w]. A toute rangée correspond une famille de rangées réticulaires identiques parallèles qui passent par tous les nœuds du réseau.
Remarque : Un indice négatif est indiqué par une barre. |
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Plan réticulaire Un plan réticulaire est un plan passant par trois nœuds non colinéaires du réseau. Une famille de plans réticulaires est un ensemble de plans parallèles et équidistants qui passent par tous les nœuds du réseau. Elle est notée (hkl) où h, k et l sont des entiers relatifs, premiers entre eux, dits indices de Miller. Ces indices sont ceux du plan de la famille le plus proche de l’origine, qui coupe les axes ox, oy et oz respectivement en p=a/h, q=b/k et r=c/l.
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Symétrie cristalline
Le classement des solides cristallins se fait grâce à leurs propriétés de symétrie qui constituent la base essentielle de leur étude systématique. On appelle figure symétrique, une figure susceptible de coïncider avec elle même à la suite d’une transformation appelée opération de symétrie. L’opérateur permettant cette transformation est appelé élément de symétrie. Cette opération peut correspondre à :
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Inversion On dit qu’une figure possède un centre d’inversion si à tout point de cette figure correspond un point symétrique par rapport à ce centre. Exemples : |
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Rotation On dit qu’une figure possède un axe de rotation direct d’ordre n (noté Cn, An), si une rotation de 2p/n ramène cette figure en coïncidence avec elle-même. Exemples : |
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Remarque :
Etant donné le caractère périodique des solides cristallins, le nombre d'axes de
rotation est limité à cinq : C1, C2, C3, C4 et
C6.
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Réflexion On a une réflexion si la moitié d’une figure est l’image de l’autre moitié par rapport à un miroir appelé plan de symétrie noté s ou m. Exemples : |
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Systèmes cristallins et réseaux de Bravais
Un réseau bidimensionnel est décrit par trois paramètres a, b et l’angle g. En combinant ces paramètres, on peut montrer qu’il existe quatre combinaisons possibles appelées systèmes correspondant à quatre symétries différentes :
Les nœuds de ces différents réseaux ne peuvent être placés qu’ aux sommets de la maille sauf pour le réseau rectangulaire où les nœuds peuvent également se placer aux centres des mailles. Dans le premier cas, on parle du mode primitif noté P alors que dans le second, le mode est multiple, dit centré et noté I. Les différents systèmes ainsi que leurs modes sont représentés ci-dessous :
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Réseaux tridimensionnels
Les réseaux tridimensionnels sont décrits par les paramètres a, b, c ainsi que les angles a, b et g. En combinant ces paramètres, on peut montrer qu’il existe sept systèmes correspondant à sept polyèdres fondamentaux de symétrie différentes. Les mailles de ces systèmes peuvent correspondre à des modes primitifs ou multiples que l’on peut représenter comme suit :
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En tout, il y a 7 modes de réseaux primitifs et 7 modes multiples, d’où un total de 14 modes de réseaux dits réseaux de Bravais.
Les réseaux de Bravais jouent un grand rôle en cristallographie. Toute structure cristalline peut être représentée au moyen de l’un de ces 14 réseaux. Pour le choix des mailles élémentaires, Bravais s’est basé sur deux critères fondamentaux à savoir :
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