Questions de cours :

1) Enoncer le principe de Fermat et le théorème de Malus.

2) Préciser les conditions d'émergence d'un pinceau lumineux issu d'un point objet (conséquence du théorème de Malus).

3) Lorsque le système optique admet un plan de symétrie (méridien). Situer les focales de Sturm par rapport à ce plan.

4) Comment se situent les rayons qui convergent en un point C1 de la focale sagittale par rapport au plan méridien?

5) Même question pour les rayons convergents en un point C2 de la focale tangentielle.

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1. Une lentille L sphéro-torique mince et biconvexe, est taillée dans un verre d’indice 1.53. Le rayon de courbure de la face sphérique est R1=0.5 m. L’axe de révolution de la face torique est vertical, son rayon de courbure dans le plan horizontal (axe) est R2=2 m, dans le plan vertical (contraxe) R'2=1 m.

1) Calculer la puissance de L pour un faisceau lumineux situé dans le plan horizontal.

2) Calculer la puissance de L pour un faisceau lumineux situé dans le plan vertical.

3) On place une source ponctuelle à p = 3 m de L, déterminer les positions et les formes des focales de Sturm.

4) Déterminer les puissances S' et C des faces sphérique et cylindrique d’une lentille sphéro-cylindrique équivalente à L. Discuter selon la direction de l’axe de la face cylindrique qui peut être horizontale ou verticale.

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2. Règles de transpositions

Deux systèmes optiques astigmates sont équivalents s'ils ont les mêmes puissances dans les mêmes plans méridiens.

1) On considère une lentille sphéro-cylindrique dont le dioptre sphérique a une puissance S, et le dioptre cylindrique a une puissance C, Qu'on note: lentille SC. Exprimer les puissances S' et C' d'une lentille S'C' équivalente à la lentille SC en fonction de S et C.

2) Déterminer les puissances C1 et C2 d'une lentille cylindro-cylindrique à axes perpendiculaires, équivalente à une lentille SC.

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3. On considère une lentille mince L convergente plan cylindrique de rayon R=10 cm, taillée dans un verre d'indice n=1.5. Un objet A réel, ponctuel est situé à une distance de 30 cm de la lentille.

1) Situer les deux focales de Sturm du système optique par rapport aux plans de symétrie et déterminer leurs positions.

2) On considère un objet étendu à 30 cm de L sous forme de grille. Les traits horizontaux de l'objet sont parallèles à la génératrice du cylindre. Préciser la position et la forme de la pseudo-image.

3) On fait tourner L d'un quart de tour, décrire l'aspect de la pseudo-image.

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4. Reprendre l'exercice 3 en supposant que L est une lentille mince convergent, plan-torique. Les rayons de courbure de la face torique sont 10 cm dans le plan méridien contraxe et 20 cm dans le plan méridien axe.

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5. Le calcul des positions des éléments cardinaux de l'œil montre qu'on peut assimiler celui-ci à un dioptre sphérique de sommet S et dont le rayon de courbure est 5.8 mm séparant l'air d'un milieu d'indice n=1.336.

1) Déterminer les positions des foyers image et objet de l'œil et en déduire sa convergence.

2) Quelle est la dimension de l'image d'un objet situé à l'infini et vu sous un angle q=1°.

Grâce à l'accommodation un œil peut voir nettement des objets situés à des distances comprises entre le punctum proximum et le punctum remotum.

3) Quelle est la nature du punctum remotum chez un myope et chez un hypermétrope.

Pour corriger la myopie ou l'hypermétropie, on place devant l'œil une lentille mince dont le foyer image F' coïncide avec le punctum remotum de l'œil amétrope.

Soit un œil myope dont le punctum remotum est R, est corrigé par une lentille mince de puissance Dc, située à la distance d de S.

Un objet AB à l'infini vu sous un angle a par l'œil amétrope, sera vu nettement sous l'angle b après correction.

On désigne par Gc le grandissement du système correcteur: Gc=b/a

4) Exprimer Gc en fonction de d et Dc seulement

5) Evaluer numériquement Gc dans le cas d'un œil myope corrigé par un verre de lunette d'une puissance Dc=-10 D. Quelle serait la valeur de Gc si la myopie est corrigée par une lentille de contact de même puissance.

6) Est-il avantageux de corriger cette myopie par une lentille de contact ou par un verre de lunette? (justifier votre réponse).

7) Calculer Gc dans le cas d'un œil hypermétrope corrigé par un verre de lunette d'une puissance de 10 D, placé à une distance d=15 mm.

On considère un œil astigmate qui présente une myopie composée. Le punctum remotum dans le plan méridien horizontal Rh est situé à 0.5 m de S, le punctum remotum dans le plan méridien vertical Rv est situé à 1 m de S.

On veut corriger cet astigmatisme par une lentille mince sphéro-cylindrique d'indice n=1.5 placée à une distance d=15 mm de S. L'axe de la face cylindrique est dans le plan méridien vertical.

8) Donner les expressions littérales puis les valeurs algébriques des rayons de courbure de la face sphérique et de la face cylindrique.

9) Donner les expressions littérales puis les valeurs numériques des grandissements Gh et Gv apportés par le système correcteur (Gh et Gv sont respectivement les grandissements dans les plans méridiens horizontal et vertical).

10) Après correction, comment un œil astigmate perçoit l'image d'un objet carré ou circulaire.

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6. On considère une lentille L1 mince bicylindrique convergente, taillée dans un verre d’indice 1.53. Les deux faces cylindriques sont verticaux et tournent leur concavité dans le même sens. Les rayons de courbure des deux faces sont 0.5 m et 1 m. On place un objet ponctuel à une distance d1 = 3 m du centre de L1.

1) Déterminer la position et la nature de la pseudo-image.

2) Décrire la forme de la pseudo-image.

3) On approche l’objet de la lentille à une distance d2 = 0.25 m, déterminer la position et la nature de la pseudo-image.

4) L’objet est un petit segment dans le plan méridien horizontal et perpendiculaire à la direction moyenne du faisceau lumineux. La distance objet-lentille est 0.25 m. On fait tourner légèrement L1 dans son plan, déterminer le sens de rotation de l’image (Justifier votre réponse).

5) On considère une lentille L2 mince bicylindrique divergente, taillée dans un verre d’indice 1.53. les deux faces cylindriques sont verticaux et tournent leur concavité dans le même sens. Les rayons de courbure des deux faces sont 0.5 m et 1 m. L’objet ponctuel est placé à une distance de 0.25 m du centre de L2. Déterminer la position et la nature de la pseudo-image.

6) L’objet est un petit segment dans le plan méridien horizontal et perpendiculaire à la direction moyenne du faisceau lumineux . La distance objet-lentille L2 est 0.25 m. On fait tourner légèrement L2 dans son plan, déterminer le sens de rotation de l’image (Justifier votre réponse)

7) En déduire une méthode permettant de déterminer la nature convergente ou divergente d’une lentille astigmate.

8) L’objet est un petit rectangle ABCD, ses grandes dimensions AB et CD sont parallèles aux axes des faces cylindriques de L1 ou L2. Ses petites dimensions BC et AD sont horizontales et perpendiculaires à la direction moyenne du faisceau lumineux. On regarde l’image de cet objet à travers L1 puis à travers L2. Dans les deux cas l’objet est placé à une distance 0.25 m de la lentille.

Décrire et comparer les dimensions des deux images obtenues. Illustrer votre réponse par un schéma.

9) On colle L1 sur L2 de telle façon que les génératrices des faces cylindriques de L1 soient verticales et perpendiculaires à celles de L2. On obtient ainsi une lentille L astigmate cylindro-cylindrique. On regarde l’image du petit rectangle ABCD à travers L. AB et CD sont parallèles aux génératrices des faces cylindriques de L1, BC et AD sont horizontales et perpendiculaires à la direction moyen du faisceau lumineux. On fait tourner L légèrement dans son plan. Décrire le mouvement de rotation de l’image.

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7. On considère un dioptre sphérique de centre C, et de sommet M, séparant deux milieux d'indices n et n'. Une source lumineuse ponctuelle A située dans le milieu d'indice n, envoie un pinceau lumineux sous une incidence moyenne i.

1) Déterminer la position de la focale sagittale S' en fonction de s, r, i et i'.

2) En considérant deux rayons voisins situés dans le plan méridien (plan de la figure), déterminer la position T' de la focale tangentielle en fonction de t, r, i et i'.

3) Si A tend vers l'infini, déterminer amplitude dioptrique de l'astigmatisme. Comment varie cette quantité en fonction de i ?

4) Estimer l'astigmatisme oculaire d'un oeil réduit de puissance D = 58 dioptries, avec une pupille de diamètre 3 mm.

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