1) La réfraction d'angle r à l'entrée de la sphère dévie le rayon de (i - r). Chaque réflexion le dévie dans le même sens de (p - 2r). Enfin la réfraction de sortie le dévie de (i - r). Soit pour p réflexions, la déviation totale D

D = 2(i - r) + p (p - 2r) = pp + 2i - 2(p + 1)r

2) On différentie l'expression de D et la relation de Descartes

dD = 2 di - 2(p + 1) dr

cos i . di = n cos r . dr

éliminons dr

la dérivée s'annule pour     n.cos r = (p + 1) cos i

n² cos² r = n² (1 - sin² r) = n² - sin² i = n² - 1 + cos² i

n² - 1 + cos² i = (p² + 2p + 1) cos² i

cos i_m est forcément positif car i_m est compris entre 0 et p/2

il y a une solution si   n > 1   et      c.a.d.   

ces deux conditions sont vérifiées par hypothèse.

3) cos i_m = 0.509  ;  i_m = 59°23'  ;  r = 40°15'  et  D = 137°46'

4) Lorsque i varie près de i_m, les rayons émergents gardent la même direction au second ordre près, il y a donc accumulation de la lumière dans cette direction. Chaque composante monochromatique de la lumière blanche du Soleil fournit une direction Dm qui apparaît à l'œil d'un observateur comme un arc à l'infini. L'ensemble de ces arcs forment un spectre étalé, c'est l'arc-en-ciel. L'angle D étant compris entre 90° et 180° la lumière réfléchie se propage en sens inverse de la lumière incidente, et l'observateur tourne le dos au Soleil.